Partie IV : Suites et complétude

1. Montrer que toute suite de Cauchy bornée dans $\mathbb{R}$ converge (complétude de $\mathbb{R}$).

2. Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ contractante. Montrer que $f$ admet un unique point fixe (Banach).

3. Application : montrer que l'équation $\cos x = x$ admet une unique solution dans $[0,1]$ et l'approcher.