Partie III : Espaces vectoriels normés

1. Montrer que $\|x\|_1 = \sum|x_i|$, $\|x\|_2 = \sqrt{\sum x_i^2}$, $\|x\|_\infty = \max|x_i|$ sont des normés sur $\mathbb{R}^n$.

2. Montrer que $\|x\|_\infty \leq \|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq n\|x\|_\infty$.

3. En déduire que toutes les normés sur $\mathbb{R}^n$ sont équivalentes (principe de la preuve).