Étude de fonctions et intégrales

1. Montrer que $f$ se prolonge par continuité en $x = 1$ avec $f(1) = 1$.

2. Montrer que $f$ est décroissante sur $]0,+\infty[$.

3. Calculer $\int_0^1 f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.