Inégalités de concentration

1. Montrer l'inégalité de Markov : $P(|X|\geq a)\leq E(|X|)/a$ pour $a>0$.

2. En déduire Bienayme-Tchebychev : $P(|X-\mu|\geq a)\leq\sigma^2/a^2$.

3. Montrer l'inégalité de Chernoff : $P(X\geq a)\leq\inf_{t>0}e^{-ta}E(e^{tX})$ et l'appliquer a $X\sim\mathcal{N}(0,1)$.