Chaînes de Markov à espace d'états fini

Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov sur $\{1,2,3\}$ de matrice de transition $P=\begin{pmatrix}0&1&0\\1/2&0&1/2\\0&1&0\end{pmatrix}$.

1. Le graphe de la chaîne est-il irreductible ?

2. Déterminer la loi stationnaire $\pi$.

3. Calculer $P^2$ et $P^3$. La suite $(P^n)$ converge-t-elle ? Montrer que $\frac{P^{2n}+P^{2n+1}}{2}\to\Pi$ ou $\Pi_{ij}=\pi_j$.

4. Calculer $P^n$ explicitement.