Projection et distance à un sous-espace

Soit $F$ un sous-espace de dimension $p$ d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$.

1. Montrer que $E=F\oplus F^\perp$.

2. En déduire que la projection orthogonale $p_F$ est bien définie et que $d(x,F)=\|x-p_F(x)\|$.

3. Application: calculer la distance de $v=(1,1,1,1)$ au sous-espace $F=\{x\in\mathbb{R}^4:x_1+x_2+x_3+x_4=0\}$.