Convergence en loi et méthode delta

1. Soit $g$ dérivable en $\mu$ avec $g'(\mu)\neq 0$. Montrer que $\sqrt{n}(g(\bar{X}_n)-g(\mu))\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,\sigma^2 g'(\mu)^2)$ (méthode delta).

2. Application: si $X_i\sim\mathcal{E}(\lambda)$, donner la loi asymptotique de $1/\bar{X}_n$.

3. En déduire un intervalle de confiance asymptotique pour $\lambda$.