Vecteurs gaussiens

Soit $(X,Y)$ un vecteur gaussien centre de matrice de covariance $\Sigma=\begin{pmatrix}1&\rho\\\rho&1\end{pmatrix}$.

1. Montrer que $\Sigma$ est définie positive ssi $|\rho|<1$.

2. Calculer la densite conjointe de $(X,Y)$.

3. Montrer que $X$ et $Y$ indépendants $\Leftrightarrow\rho=0$ (pour des gaussiens).