Endomorphismes auto-adjoints

Soit $E$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$ auto-adjoint ($\langle u(x),y\rangle = \langle x,u(y)\rangle$).

1. Montrer que les valeurs propres de $u$ sont réelles.

2. Montrer que les sous-espaces propres sont orthogonaux.

3. En déduire le théorème spectral : $u$ est diagonalisable dans une BON.