Approximation uniforme par des polynômes

Théorème de Weierstrass. Soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1])$. On pose $B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n f(k/n)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$ (polynômes de Bernstein).

1. Montrer que $B_n(1) = 1$, $B_n(x) = x$, $B_n(x^2) = x^2 + \frac{x(1-x)}{n}$.

2. En déduire que $B_n(f) \to f$ uniformément sur $[0,1]$.