Matrices de permutation

A toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, on associe $P_\sigma = (\delta_{i,\sigma(j)})$.

1. Montrer que $P_\sigma P_\tau = P_{\sigma\circ\tau}$.

2. Montrer que $\det(P_\sigma) = \varepsilon(\sigma)$ (signature).

3. Montrer que les valeurs propres de $P_\sigma$ sont des racines de l'unité.