Partie III : Espérance conditionnelle

1. Definir $E(X|Y=y)$ et montrer la formule des espérances totales : $E(X) = \sum_y E(X|Y=y)P(Y=y)$.

2. Montrer la formule de la variance totale : $V(X) = E(V(X|Y)) + V(E(X|Y))$.

3. Application : $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $(X_k)$ iid d'espérance $\mu$. Calculer $E(S_N)$ et $V(S_N)$ ou $S_N = \sum_{k=1}^N X_k$.