Partie III : Séries de fonctions

1. Montrer que $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}$ converge sur $[-1,1[$ et que sa somme vaut $-\ln(1-x)$.

2. Montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n x^{2n}$ converge uniformément sur $[-r,r]$ pour $r < 1$ et a pour somme $\frac{1}{1+x^2}$.

3. En déduire que $\arctan(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$ pour $|x| \leq 1$, et calculer $\pi/4$.