Intégrales de Wallis et équivalents

Difficile

On pose

W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n t\,dt

1. Calculer $W_0$ , $W_1$ et montrer $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}W_n$ .

2. Montrer que $nW_nW_{n-1} = \pi/2$ et en déduire $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$ .

3. En déduire un équivalent de $\binom{2n}{n}$ .

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Intégrales de Wallis et équivalents

Difficile

On pose

W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n t\,dt

1. Calculer $W_0$ , $W_1$ et montrer $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}W_n$ .

2. Montrer que $nW_nW_{n-1} = \pi/2$ et en déduire $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$ .

3. En déduire un équivalent de $\binom{2n}{n}$ .

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