On pose
F(x)=∑n=1∞ne−nx pour
x>0.
Montrer que la série converge normalement sur [a,+∞[ pour tout a>0.
En déduire que F est ]0,+∞[.
Montrer que F(x)=−ln(1−e−x) pour x>0.
Calculer ∫01F(x)dx par intégration terme a terme (justifier l'interversion). En déduire la valeur de ∑n=1∞n1(n1−ne−n)... Plus simplement : calculer ∫1+∞F(x)dx et en déduire ∑n=1∞n2e−n.