Théorème de Dini. Soit
(fn) une suite de fonctions continues sur un segment
[a,b], convergeant simplement vers une fonction continue
f. On suppose que pour tout
x, la suite
(fn(x)) est
monotone (croissante ou décroissante).
En posant gn=fn−f (ou f−fn), se ramener au cas gn≥0, gn continue, gn↘0 simplement.
Pour ε>0, poser Un={x∈[a,b]:gn(x)<ε}. Montrer que (Un) est une suite croissante d'ouverts (relatifs a [a,b]) recouvrant [a,b].
En utilisant la compacité de [a,b], conclure que gn<ε sur [a,b] a partir d'un certain rang : la convergence est uniforme.
Application : montrer que fn(x)=(1+x/n)n converge uniformément vers ex sur tout segment [0,M].