On admet le théorème de Dini : sur un segment, une suite MONOTONE de fonctions continues qui converge simplement vers une fonction continue converge uniformément.
Soit fn(x)=(1+nx)n pour x∈[0,M], avec M>0 fixé.
Déterminer la limite simple de (fn).
Montrer que, pour chaque x≥0 fixé, la suite (fn(x))n est CROISSANTE. ⚠️ Passer par une variable réelle plutôt que de comparer les rangs n et n+1.
En déduire que la convergence est uniforme sur [0,M]. Pourquoi ne l'est-elle pas sur [0,+∞[ ?