Pourquoi une série en SINUS ? Barre refroidie, barre isolée

La résolution de l'équation de la chaleur $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ sur $[0,\pi]$ conduit toujours à une série en sinus. On veut comprendre d'où vient ce choix — et ce qui se passe quand il devient faux.

1. La barre est maintenue à $0$ à ses deux bouts : $u(0,t) = u(\pi,t) = 0$. Expliquer pourquoi ces conditions sélectionnent les sinus, et faire le lien avec le prolongement impair de la donnée initiale $f$ sur $[-\pi,\pi]$.

2. La barre est maintenant isolée à ses deux bouts : $\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(\pi,t) = 0$. Reprendre l'étude et montrer que la solution s'écrit cette fois avec des cosinus. Quel prolongement de $f$ cela correspond-il ?

3. Déterminer $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} u(x,t)$ dans les deux cas, et interpréter physiquement.

4. Traiter $f(x) = 1$ dans chacun des deux cas. Que constate-t-on ?