Erreur de troncature : combien d'harmoniques ?

Parseval ne sert pas qu'à calculer des sommes : elle mesure l'erreur commise en ne gardant qu'un nombre fini d'harmoniques.

1. Soit $f$ $2\pi$-périodique et continue par morceaux, de somme partielle $S_N$. Exprimer $\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\big(f - S_N\big)^2$ à l'aide des coefficients de Fourier de $f$.

2. Application à $f(x) = x$ sur $[-\pi,\pi]$ : encadrer l'erreur relative $\rho_N$, puis déterminer combien d'harmoniques il faut pour que $\rho_N \leq 1\,\%$.

3. Mêmes questions pour $f(x) = |x|$. Commenter l'écart entre les deux réponses.

4. Relier ce que l'on observe au lien entre régularité de $f$ et décroissance de ses coefficients.