Fonction de période $T$ : le changement d'échelle

Tout le cours est écrit pour des fonctions $2\pi$-périodiques. En pratique, un signal a rarement cette période-là.

1. Soit $f$ de période $T > 0$ et $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Montrer que $g(u) = f\!\left(\frac{Tu}{2\pi}\right)$ est $2\pi$-périodique, et en déduire les formules donnant les coefficients de Fourier de $f$.

2. Application : soit $f$ de période $2$, définie par $f(x) = x$ sur $[-1, 1[$. Calculer sa série de Fourier.

3. Qu'affirme le théorème de Dirichlet en $x = \frac12$ ? En déduire une identité classique — qui servira ici de contrôle du changement d'échelle.

4. Qu'affirme-t-il en $x = 1$ ? Vérifier la cohérence du résultat.