Créneau de rapport cyclique $\alpha$ : le rôle de $a_0$

Soit $\alpha \in\ ]0,1[$ et $f$ la fonction $2\pi$-périodique valant $1$ sur $[0, 2\pi\alpha[$ et $0$ sur $[2\pi\alpha, 2\pi[$ (créneau de rapport cyclique $\alpha$).

1. Calculer $a_0$, puis $a_n$ et $b_n$ pour $n \geq 1$.

2. Interpréter $\frac{a_0}{2}$. Que vaut-il pour $\alpha = 1/2$ ? pour $\alpha \to 0$ ?

3. Montrer que pour $\alpha = 1/2$ tous les $a_n$ s'annulent, et retrouver ainsi la série du signal carré $\pm 1$.

4. Pour quelles valeurs de $\alpha$ l'harmonique de rang $n$ disparaît-elle complètement ?