Parseval en cascade : $\zeta(6)$, et jamais $\zeta(3)$

Parseval appliquée à $f(x) = x$ donne $\sum 1/n^2$, appliquée à $f(x) = x^2$ elle donne $\sum 1/n^4$. On veut aller un cran plus loin.

1. Calculer les coefficients de Fourier de $g(x) = \pi^2 x - x^3$ sur $[-\pi, \pi]$, prolongée par $2\pi$-périodicité.

2. Vérifier que le prolongement de $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ mais pas $\mathcal{C}^2$, et confronter ce constat à la vitesse de décroissance trouvée en 1.

3. En déduire $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^6} = \frac{\pi^6}{945}$.

4. Expliquer pourquoi cette méthode ne pourra jamais produire $\sum 1/n^3$.