Identité de Parseval et meilleure approximation

Soit $f \in L^2([-\pi,\pi])$ et $S_N(f)(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N (a_n\cos nx + b_n\sin nx)$ la somme partielle d'ordre $N$ de sa série de Fourier.

1. Montrer que $S_N(f)$ est la meilleure approximation de $f$ parmi les polynômes trigonométriques de degré $\leq N$ au sens de $L^2$ : pour tout polynôme trigonométrique $T_N$ de degré $\leq N$, $\|f - S_N(f)\|_2 \leq \|f - T_N\|_2$.

2. En déduire l'inégalité de Bessel : $\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^N (a_n^2+b_n^2) \leq \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx$.

3. Montrer que l'égalité de Parseval (cas $N \to \infty$) équivaut à la densité des polynômes trigonométriques dans $L^2$.