Série de Fourier et équation de la chaleur

On considère l'équation de la chaleur sur $[0,\pi]$ : $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$, avec $u(0,t)=u(\pi,t)=0$ et $u(x,0)=f(x)$.

1. En cherchant des solutions séparées $u(x,t) = X(x)T(t)$, montrer que $X''=-\lambda X$ et $T'=-\lambda T$.

2. Avec les conditions aux bords, montrer que nécessairement $\lambda > 0$, puis que $\lambda = n^2$ et $X_n(x) = \sin(nx)$.

3. Écrire la solution générale : $u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty b_n e^{-n^2 t} \sin(nx)$ et déterminer les $b_n$ à partir de $f$.

4. Application : si $f(x) = \sin(x) + 3\sin(2x)$, donner $u(x,t)$.