On reprend le signal carré
f(x)=sgn(x) sur
[−π,π] dont la série de Fourier est
S(x)=π4∑k=0∞2k+1sin((2k+1)x).
Montrer que la somme partielle d'ordre N s'écrit SN(x)=π2∫0xsin(t/2)sin((2N+1)t/2)dt (a une normalisation pres).
Le maximum de SN est atteint en xN=π/(2N+1). Montrer que SN(xN)→π2∫0πtsintdt≈1.179.
Commenter : malgre la convergence ponctuelle de SN→f, le maximum de SN depasse f=1 d'environ 18\%. C'est le phenomene de Gibbs.