Phénomène de Gibbs

On reprend le signal carré $f(x) = \text{sgn}(x)$ sur $[-\pi,\pi]$ dont la série de Fourier est $S(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$.

1. Montrer que la somme partielle $S_N(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N} \frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$ s'écrit $S_N(x) = \frac{2}{\pi}\int_0^x \frac{\sin((2N+2)t)}{\sin t}\,dt$.

2. Montrer que le premier maximum de $S_N$ est atteint en $x_N = \dfrac{\pi}{2N+2}$, puis que $S_N(x_N) \to \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin t}{t} dt \approx 1{,}179$.

3. Commenter : malgré la convergence ponctuelle de $S_N \to f$, le maximum de $S_N$ dépasse $f = 1$ d'environ 18 %. C'est le phénomène de Gibbs.