Noyau de Dirichlet et convergence ponctuelle

1. Montrer que $D_N(x) = \frac{\sin((N+1/2)x)}{\sin(x/2)}$ pour $x \neq 0 \pmod{2\pi}$.

2. Montrer que $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t) D_N(t) \, dt$, où $S_N(f)$ est la somme partielle de la série de Fourier.

3. Montrer que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi D_N(t) \, dt = 1$.

4. Énoncer le théorème de Dirichlet (convergence ponctuelle pour $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux).