Régularité et décroissance des coefficients

Soit $f$ une fonction $2\pi$-périodique, $\mathcal{C}^k$ par morceaux. On note $c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}dx$ les coefficients de Fourier complexes.

1. Montrer par IPP que si $f$ est $\mathcal{C}^1$, alors $c_n(f') = in \cdot c_n(f)$.

2. En déduire que si $f \in \mathcal{C}^k$, alors $c_n(f) = o(1/|n|^k)$ quand $|n| \to \infty$.

3. Application : comparer la décroissance des coefficients de Fourier de $f(x) = |x|$, de $g(x) = x^2$ et du signal carré $h(x) = \operatorname{sgn}(x)$. Que faut-il regarder au juste pour les classer ?

4. En déduire un critère pratique de convergence absolue de la série de Fourier.