Égalité de Parseval et applications

1. Rappeler l'égalité de Parseval pour une fonction $f \in L^2([-\pi,\pi])$.

2. En appliquant Parseval à $f(x) = x$ sur $[-\pi,\pi]$, calculer $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.

3. En appliquant Parseval à $f(x) = |x|$ sur $[-\pi,\pi]$, calculer $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^4}$.

4. En déduire $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$.