Série de Fourier d'une fonction en escalier

Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique définie par $f(x) = 1$ pour $x \in [0, \pi[$ et $f(x) = -1$ pour $x \in [-\pi, 0[$ (signal carré).

1. Montrer que $f$ est impaire. En déduire que $a_n = 0$ pour tout $n \geq 0$.

2. Calculer $b_n$ pour $n \geq 1$.

3. Écrire la série de Fourier. À quoi converge-t-elle en $x = \pi/2$ ?

4. En déduire la formule de Leibniz : $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots$