Coefficients de Fourier de $x^2$

Soit $f(x) = x^2$ sur $[-\pi, \pi]$, prolongée par $2\pi$-périodicité.

1. Calculer les coefficients de Fourier $a_0$, $a_n$ et $b_n$.

2. Écrire la série de Fourier de $f$.

3. En évaluant en $x = \pi$, retrouver $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

4. Par l'égalité de Parseval, calculer $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$.