Coefficients de Fourier de $|x|$ et $\sum 1/n^2$

Soit $f : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = |x|$, prolongée par $2\pi$-périodicité.

1. $f$ est-elle paire ou impaire ? En déduire la forme de sa série de Fourier.

2. Calculer $a_0$ et $a_n$ pour $n \geq 1$.

3. Écrire la série de Fourier. En évaluant en $x = 0$, montrer que $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$.

4. En déduire $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.