On admet le théorème du produit de Cauchy : si
∑an et
∑bn convergent absolument, alors la série de terme général
cn=k=0∑nakbn−k converge absolument et
n=0∑+∞cn=(n=0∑+∞an)(n=0∑+∞bn).
Calculer le produit de Cauchy de ∑n!xn par ∑n!yn, et en déduire que exey=ex+y.
Calculer n=0∑+∞2nn+1 en utilisant le produit de Cauchy de ∑2n1 par elle-même.
En déduire n=0∑+∞2nn2.