Soient
A=n=0∑+∞an et
B=n=0∑+∞bn deux séries absolument convergentes. On définit le produit de Cauchy :
cn=k=0∑nakbn−k.
Montrer que la série ∑cn converge absolument et que n=0∑+∞cn=AB (théorème de Mertens).
Application : calculer n=0∑+∞2nn+1 en utilisant le produit de Cauchy de ∑2n1 par elle-meme.
En déduire n=0∑+∞2nn2.