Soit
(an) une suite a valeurs réelles décroissante tendant vers 0, et
(bn) une suite a valeurs complexes dont les sommes partielles
Bn=∑k=0nbk sont bornées.
Établir la formule de sommation par parties (transformation d'Abel) :
k=0∑nakbk=anBn+k=0∑n−1(ak−ak+1)Bk
En déduire que la série ∑anbn converge (critère d'Abel).
Application : montrer que ∑n=1+∞nsin(nθ) converge pour tout θ∈R∖2πZ.