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ExercicesAnneau des entiers de Gauss Z[i]
Anneau des entiers de Gauss Z[i]
On considere l'ensemble
Z[i]={a+bi∣a,b∈Z}⊂C.
Montrer que (Z[i],+,×) est un commutatif unitaire (sous-anneau de C).
On définit la N(a+bi)=a2+b2. Montrer que N est multiplicative : N(zw)=N(z)N(w).
Montrer que z∈Z[i] est (dans Z[i]) si et seulement si N(z)=1. En déduire les inversibles de Z[i].
Montrer que Z[i] est euclidien pour la norme N : pour z,w∈Z[i] avec w=0, il existe q,r∈Z[i] tels que z=wq+r avec N(r)<N(w).
Factoriser 5 et 13 dans Z[i].La solution est réservée aux abonnés
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