Marche aléatoire et problème de la ruine du joueur

Un joueur possède $a$ euros et joue contre un adversaire possedant $b$ euros. A chaque tour, le joueur gagne 1 euro avec probabilité $p$ et perd 1 euro avec probabilité $q = 1-p$. Le jeu s'arrete quand l'un des deux est ruine.

Soit $P_k$ la probabilité que le joueur gagne (i.e. atteigne $a+b$ euros) en partant de $k$ euros.

Montrer que $P_k = p \cdot P_{k+1} + q \cdot P_{k-1}$ pour $1 \leq k \leq a+b-1$.

Résoudre cette récurrence et montrer que si $p \neq q$ :

Que vaut $P_a$ quand $p = q = 1/2$ ?

Calculer $P_a$ pour $a = 10$, $b = 90$ et $p = 0.51$.