Prolonger par densité, et la distance à une partie

Difficile

Soit

(X,d)

un espace métrique.

Soit

D \subset X

dense et

g:D\to\mathbb{R}

L

-. Montrer que

g

se prolonge de manière unique en une application

L

-lipschitzienne

\tilde g : X \to \mathbb{R}

. Soigner le fait que $\tilde g$ est bien définie.

Où la complétude de

\mathbb{R}

intervient-elle ?

Soit

A \subset X

non vide. Montrer que

x\mapsto d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)

est 1-lipschitzienne, et que la constante

1

est optimale.

La solution est réservée aux abonnés

L'énoncé est en libre accès. Les indices progressifs et la solution détaillée sont réservés aux abonnés Premium.

Prolonger par densité, et la distance à une partie

Difficile

Soit

(X,d)

un espace métrique.

Soit

D \subset X

dense et

g:D\to\mathbb{R}

L

-. Montrer que

g

se prolonge de manière unique en une application

L

-lipschitzienne

\tilde g : X \to \mathbb{R}

. Soigner le fait que $\tilde g$ est bien définie.

Où la complétude de

\mathbb{R}

intervient-elle ?

Soit

A \subset X

non vide. Montrer que

x\mapsto d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)

est 1-lipschitzienne, et que la constante

1

est optimale.

L'énoncé est en libre accès. Les indices progressifs et la solution détaillée sont réservés aux abonnés Premium.