Soit
(X,d) un espace métrique complet et
f:X→X une contraction : il existe
k<1 tel que
d(f(x),f(y))≤k⋅d(x,y).
Montrer que (fn(x0)) est une pour tout x0, et en déduire l'existence d'un unique point fixe.
Application. Montrer que g(x)=cosx admet un unique point fixe dans [0,1], en vérifiant explicitement les trois hypothèses.
On considère h(x)=x+x1 sur [1,+∞[. Montrer que ∣h(x)−h(y)∣<∣x−y∣ pour x=y, et que pourtant h n'a aucun point fixe. Où l'hypothèse manque-t-elle ?