Baire en action :

\mathbb{R}

non dénombrable, et l'impossible fonction continue sur

\mathbb{Q}

Baire en action : $\mathbb{R}$ non dénombrable, et l'impossible fonction continue sur $\mathbb{Q}$

Tres difficile

Théorème de Baire (admis, démontré ailleurs dans ce chapitre). Un espace métrique complet n'est pas réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide.

En déduire que

\mathbb{R}

n'est pas dénombrable.

Montrer que

\mathbb{Q}

n'est pas un

G_\delta

\mathbb{R}

En admettant que l'ensemble des points de continuité d'une fonction

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

est toujours un

G_\delta

, montrer qu'il n'existe aucune fonction continue exactement sur

\mathbb{Q}

Donner en revanche une fonction continue exactement sur les irrationnels.

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