Soit
(E,⟨⋅,⋅⟩) un espace euclidien,
F un
de
E et
v∈E.
Montrer que d(v,F)=minw∈F∥v−w∥ est atteint en un unique point w0=pF(v) ().
Montrer que d(v,F)2=∥v∥2−∥pF(v)∥2.
Application aux moindres carrés : dans R3, soit F=Vect((1,1,1)) et v=(1,2,4). Trouver le point de F le plus proche de v.
Déterminant de Gram. Soit (f1,…,fk) une de F. Montrer que :
d(v,F)2=G(f1,…,fk)G(f1,…,fk,v)
ou
G(u1,…,um)=det(⟨ui,uj⟩)1≤i,j≤m est le déterminant de Gram.
Calculer d(v,F) dans l'application de la question 3 par cette méthode.