Soit
(E,⟨⋅,⋅⟩) un espace euclidien de dimension finie et
f∈L(E).
Montrer qu'il existe un unique endomorphisme f∗ (appelé adjoint de f) tel que :
⟨f(x),y⟩=⟨x,f∗(y)⟩∀x,y∈E
Montrer que si M est la matrice de f dans une orthonormée, alors la matrice de f∗ est MT.
Montrer que kerf∗=(Imf)⊥.
Application : soit f:R3→R3 défini par f(x,y,z)=(2x+y,x+2y+z,y+2z) ( canonique). Calculer f∗ et vérifier que f=f∗.
Que signifie f=f∗ pour un endomorphisme ?