Fonctions de classe

\mathcal{C}^n

et formule de Leibniz

Fonctions de classe $\mathcal{C}^n$ et formule de Leibniz

Tres difficile

Soit

f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)

pour

x \neq 0

f(0) = 0

Montrer que

f

est dérivable sur

\mathbb{R}

et calculer

f'

Montrer que

f'

n'est pas

0

. Conclusion :

f

est dérivable mais pas

\mathcal{C}^1

() Soit

g, h

de classe

\mathcal{C}^n

. Démontrer que :

(gh)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} g^{(k)} h^{(n-k)}

Application : calculer la dérivée

n

-ieme de

x \mapsto x^2 e^x

La solution est réservée aux abonnés

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Fonctions de classe

\mathcal{C}^n

et formule de Leibniz

Tres difficile

Soit

f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)

pour

x \neq 0

f(0) = 0

Montrer que

f

est dérivable sur

\mathbb{R}

et calculer

f'

Montrer que

f'

n'est pas

0

. Conclusion :

f

est dérivable mais pas

\mathcal{C}^1

() Soit

g, h

de classe

\mathcal{C}^n

. Démontrer que :

(gh)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} g^{(k)} h^{(n-k)}

Application : calculer la dérivée

n

-ieme de

x \mapsto x^2 e^x

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