Derivable sans etre

C^1

, et la formule de Leibniz

Derivable sans etre $C^1$ , et la formule de Leibniz

Tres difficile

Partie A. Soit

f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)

pour

x \neq 0

, et

f(0) = 0

Montrer que

f

est dérivable sur

\mathbb{R}

et calculer

f'

Montrer que

f'

n'est pas

0

. En déduire que

f

est dérivable sans être de classe

\mathcal{C}^1

Partie B. Soient $g, h$ de classe $\mathcal{C}^n$ .

Démontrer la :

(gh)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} g^{(k)} h^{(n-k)}.

Application : calculer la dérivée

n

-ième de

x \mapsto x^2 e^x

La solution est réservée aux abonnés

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Derivable sans etre

C^1

, et la formule de Leibniz

Tres difficile

Partie A. Soit

f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)

pour

x \neq 0

, et

f(0) = 0

Montrer que

f

est dérivable sur

\mathbb{R}

et calculer

f'

Montrer que

f'

n'est pas

0

. En déduire que

f

est dérivable sans être de classe

\mathcal{C}^1

Partie B. Soient $g, h$ de classe $\mathcal{C}^n$ .

Démontrer la :

(gh)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} g^{(k)} h^{(n-k)}.

Application : calculer la dérivée

n

-ième de

x \mapsto x^2 e^x

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