Les visages de Catalan : parenthésages, arbres, triangulations

Les nombres de Catalan $C_n = \frac{1}{n+1}\dbinom{2n}{n}$ comptent les chemins de Dyck de longueur $2n$ — on l'admet ici, l'exercice qui le démontre étant traité par ailleurs. Leurs premières valeurs sont

1. Construire une bijection entre les chemins de Dyck de longueur $2n$ et les parenthésages bien formés de $n$ paires.

2. Énumérer à la main les parenthésages pour $n = 3$, et vérifier.

3. Construire une bijection avec les arbres binaires à $n$ nœuds internes.

4. De combien de façons peut-on trianguler un polygone convexe à $7$ côtés par des diagonales ne se croisant pas ?