Équivalent de $\binom{2n}{n}$ par Stirling

On admet la formule de Stirling : $\displaystyle n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n$.

1. Donner un équivalent de $\dbinom{2n}{n}$ quand $n \to +\infty$.

2. Contrôler le résultat sur $n = 10$.

3. En déduire la limite de $\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}$, et interpréter : c'est la probabilité qu'une marche aléatoire symétrique revienne à son point de départ après $2n$ pas.

4. Peut-on en déduire un équivalent de $\dbinom{2n}{n} - \dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ ?