Nombres de Stirling de seconde espèce

On note $S(n,k)$ le nombre de partitions de $\{1,\dots,n\}$ en $k$ parties non vides — le nombre de Stirling de seconde espèce.

1. Montrer que $S(n+1,k) = k\,S(n,k) + S(n,k-1)$.

2. Dresser le tableau des $S(n,k)$ pour $n \leq 5$, et en lire $S(4,2)$.

3. Relier $S(n,k)$ au nombre de surjections de $\{1,\dots,n\}$ sur un ensemble à $k$ éléments, et vérifier sur $S(4,3)$.

4. Que compte $\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^{n} S(n,k)$ ?