Nombre de surjections

Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis, $|E| = n$ et $|F| = p$. On note $\mathrm{Surj}(n,p)$ le nombre de surjections de $E$ sur $F$.

1. Montrer que $\displaystyle\mathrm{Surj}(n,p) = \sum_{k=0}^{p}(-1)^k\binom{p}{k}(p-k)^n$.

2. Calculer le nombre de surjections de $\{1,2,3,4\}$ sur $\{a,b,c\}$.

3. Relier $\mathrm{Surj}(n,p)$ au nombre de Stirling $S(n,p)$, qui compte les partitions de $E$ en $p$ parties non vides. Vérifier la relation sur le cas de la question 2.

4. Que donne la formule pour $n < p$ ? Le résultat était-il prévisible ?