Permutations à exactement $k$ points fixes

Un dérangement est une permutation sans point fixe ; on note $D_m$ le nombre de dérangements de $m$ objets, avec la convention $D_0 = 1$. On admet $D_1 = 0$, $D_2 = 1$, $D_3 = 2$, $D_4 = 9$.

1. Montrer que le nombre de permutations de $\{1,\dots,n\}$ ayant exactement $k$ points fixes vaut $\dbinom{n}{k}\,D_{n-k}$.

2. En déduire l'identité $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}D_{n-k} = n!$, et la vérifier pour $n = 4$.

3. Pourquoi le cas $k = n-1$ donne-t-il toujours $0$ ?

4. Montrer que le nombre moyen de points fixes d'une permutation tirée au hasard vaut $1$, quel que soit $n$.