Nombre de diviseurs d'un entier

Soit $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}$ la décomposition en facteurs premiers d'un entier $n \geq 2$.

1. Montrer que le nombre de diviseurs de $n$ vaut $\displaystyle\prod_{i=1}^{r}(\alpha_i + 1)$.

2. Application : combien $1800$ a-t-il de diviseurs ?

3. Combien d'entre eux sont des carrés parfaits ?

4. À quelle condition sur $n$ le nombre de diviseurs est-il impair ?