Chemins de Dyck et nombres de Catalan

Un chemin de Dyck de longueur $2n$ est un chemin sur $\mathbb{Z}$ partant de 0, arrivant en 0, compose de $n$ pas $+1$ et $n$ pas $-1$, et ne passant jamais en dessous de 0. Notons $C_n$ le nombre de chemins de Dyck de longueur $2n$.

Montrer que $C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ (nombres de Catalan).

Montrer que $C_n = \sum_{k=0}^{n-1} C_k C_{n-1-k}$ pour $n \geq 1$.

Calculer $C_5$ et montrer que $C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}$.