Dérangements

Difficile

On appelle derangement de

\{1, \ldots, n\}

toute permutation

\sigma

telle que

\sigma(i) \neq i

pour tout

i

Notons $D_n$ le nombre de derangements.

Montrer que

D_n = n! \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}

Montrer que

D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})

pour

n \geq 2

Calculer

D_5

et la probabilité qu'une permutation aléatoire uniforme de

\{1,\ldots,5\}

soit un derangement.

La solution est réservée aux abonnés

L'énoncé est en libre accès. Les indices progressifs et la solution détaillée sont réservés aux abonnés Premium.

Dérangements

Difficile

On appelle derangement de

\{1, \ldots, n\}

toute permutation

\sigma

telle que

\sigma(i) \neq i

pour tout

i

Notons $D_n$ le nombre de derangements.

Montrer que

D_n = n! \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}

Montrer que

D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})

pour

n \geq 2

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D_5

et la probabilité qu'une permutation aléatoire uniforme de

\{1,\ldots,5\}

soit un derangement.

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