Dénombrement par bijection

Soit $E = \{1, 2, \ldots, n\}$, et $\mathcal{P}_k(E)$ l'ensemble de ses parties à $k$ éléments. On note $\binom{n}{k} = |\mathcal{P}_k(E)|$.

1. Construire une bijection entre $\mathcal{P}(E)$ et $\{0,1\}^n$, et en déduire $|\mathcal{P}(E)| = 2^n$.

2. Démontrer la formule $\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ en comptant les listes ordonnées.

3. En déduire $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$, sans utiliser le binôme de Newton.

4. Retrouver ce même résultat par le binôme. Laquelle des deux démonstrations explique le mieux ?