Matrice de covariance et transformations linéaires

1. Écrire la matrice de covariance $\Gamma$ du vecteur $(X, Y)$ et calculer $\rho(X, Y)$.

2. On pose $U = X + Y$ et $V = X - Y$. Calculer $\mathbb{E}(U)$, $\mathbb{E}(V)$, $\text{Var}(U)$, $\text{Var}(V)$ et $\text{Cov}(U, V)$.

3. Écrire la matrice $A$ telle que $\binom{U}{V} = A\binom{X}{Y}$ et vérifier que $\Gamma_{(U,V)} = A\Gamma A^T$.

4. Pour quelle valeur de $\alpha > 0$ les variables $U' = X + \alpha Y$ et $V' = X - \alpha Y$ sont-elles non correlees ?